Ecuación general de conducción de calor
Sarabia Escriva, Emilio José; Soto Francés, Víctor Manuel; Pinazo Ojer, José Manuel
Introducción
En el presente laboratorio virtual se presenta la ecuación general de conducción de calor en coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas. Se muestra la resolución de la misma para el caso de conducción estacionaria con diferentes condiciones de contorno.
Objetivos
-
Entender las soluciones de la ecuación de conducción de calor aplicando diferentes condiciones de contorno.
-
Comprobar el perfil de temperaturas en el interior de un sólido con diferentes geometrías: placa plana, cilindros y esferas.
-
Observar el valor del flujo de calor en el interior de las piezas anteriores.
Instrucciones
Aportar valores a las diferentes variables de las que depende el problema y observar los perfiles de temperaturas y flujo de calor en el interior de las piezas
Coordenadas cartesianas
${\∂T}/{\∂x}(k{\∂T}/{\∂x})+{\∂T}/{\∂y}(k{\∂T}/{\∂y})+{\∂T}/{\∂z}(k{\∂T}/{\∂z})+g'''=ρCp{\∂T}/{\∂t}$
- Ecuación unidimensional en régimen estacionario con conductividad constante
${\∂T}/{\∂x}(k{\∂T}/{\∂x})+g'''=0$
- Perfil de temperaturas y flujo de calor
$T(x)=-{g}/{2k}x^2+C_1x+C_2$
$q''(x)=gx-kC_1$
- Condiciones de contorno: Temeratura conocida en ambas superficies de la placa: T_0 y T_L
$C2=T_0$
$C1={T_L-T_0}/{L}+{gL}/{2k}$
| Variables |
T(0)
ºC |
T(espesor)
ºC |
espesor
m |
conductividad
W/(mK) |
generación interior
W/(m3) |
| Valores |
0 |
20 |
1 |
50 |
5000 |
| C1 |
C2 |
T_max[ºC] |
x_T_max[m] |
|
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Coordenadas cilíndricas
${1}/{r}{\∂T}/{\∂r}(k r{\∂T}/{\∂r})+{1}/{r^2}{\∂T}/{\∂φ}(k{\∂T}/{\∂φ})+{\∂T}/{\∂z}(k{\∂T}/{\∂z})+g'''=ρCp{\∂T}/{\∂t}$
- Ecuación unidimensional en régimen estacionario con conductividad constante
${1}/{r}{\∂T}/{\∂r}(k r{\∂T}/{\∂r})+g'''=0$
- Perfil de temperaturas y flujo de calor
$T(r)=-{g}/{4k}r^2+C_1ln(r)+C_2$
$q'(r)=gπr^2-2πkC_1$
- Condiciones de contorno: Cilindro macizo y temperatura superficial conocida
$C1=0$
$C2=T_R+{gR^2}/{4k}$
| Variables |
T(radio)
ºC |
radio
m |
conductividad
W/(mK) |
generación interior
W/(m3) |
| Valores |
20 |
1 |
50 |
5000 |
| C1 |
C2 |
T_max[ºC] |
x_T_max[m] |
|
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Condiciones de contorno: Temperaturas en r1 y r2 conocidas
$C1={T_{r1}-T_{r2}+{g}/{4k}(r1^2-r2^2)}/{ln({r1}/{r2})}$
$C2=T_{r1}+{gr1^2}/{4k}-C1ln(r1)$
| Variables |
T(radio_interno)
ºC |
T(radio_externo)
ºC |
radio_interno
m |
radio_externo
m |
conductividad
W/(mK) |
generación interior
W/(m3) |
| Valores |
20 |
20 |
0.1 |
0.3 |
50 |
5000 |
| C1 |
C2 |
T_max[ºC] |
x_T_max[m] |
|
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Coordenadas esféricas
${1}/{r^2}{\∂T}/{\∂r}(kr^2{\∂T}/{\∂r})+{1}/{r^2sin^2θ}{\∂T}/{\∂φ}(k{\∂T}/{\∂φ})+{1}/{r^2sinθ}{\∂T}/{\∂θ}(ksinθ{\∂T}/{\∂θ})+g'''=ρCp{\∂T}/{\∂t}$
- Ecuación unidimensional en régimen estacionario con conductividad constante
${1}/{r^2}{\∂T}/{\∂r}(kr^2{\∂T}/{\∂r})+g'''=0$
- Perfil de temperaturas y flujo de calor
$T(r)=-{g}/{6k}r^2-{C_1}/r+C_2$
$q(r)={4gπ}/{3}r^3-4πkC_1$
- Condiciones de contorno: Esfera maciza y temperatura superficial conocida
$C1=0$
$C2=T_R+{gR^2}/{6k}$
| Variables |
T(radio)
ºC |
radio
m |
conductividad
W/(mK) |
generación interior
W/(m3) |
| Valores |
20 |
1 |
50 |
5000 |
| C1 |
C2 |
T_max[ºC] |
x_T_max[m] |
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