Física (también “Fundamentos Físicos de la Ingeniería”, “Matemáticas”).

Visualizador del concepto de derivada de un vector.

Marcos H. Giménez Valentín, Isabel Salinas Marín y Juan Antonio Monsoriu Serra.

Creado con Easy Java Simulations


Introducción

           El applet permite que el usuario introduzca las componentes X e Y de una función vectorial r de variable escalar t, que aparece representada gráficamente como un vector para el valor deseado de t. También se muestra gráficamente la derivada de dicha función vectorial para el mismo valor de t.

           El usuario puede introducir la que cree que es la derivada de la función. Dicha derivada se muestra gráficamente para el valor deseado de t, y si es correcta coincidirá con la que proporciona el applet.

           El usuario puede modificar el valor de la variable independiente t por medio de una deslizadera. El applet proporciona diversa información para dicho valor, incluyendo el correspondiente valor de la función vectorial y el de su derivada.

Objetivos


Instrucciones

  1. Situando el puntero del ratón sobre la mayor parte de los elementos de la interfaz aparece un globo con su descripción.
  2. Al teclear cualquier entrada en un cuadro de texto (los del panel “Vectores propuestos e intervalo [t1,t2]”), dicho cuadro se muestra con fondo amarillo. Es obligatorio pulsar la tecla INTRO para validar la entrada, tras lo que el fondo pasa a ser blanco. Si en lugar de eso el fondo pasa a ser rojo, la expresión o valor introducido no es correcto.
  3. El panel “Vectores propuestos e intervalo [t1,t2]” permite escribir la expresión de las componentes X e Y de una función vectorial r(t), las de su derivada r’(t), y los límites del intervalo [t1,t2] que se utilizará en la visualización. El formato de las expresiones es en líneas generales el típico de las hojas de cálculo, y con el punto como separador de decimales (p.ej., 3.5*e^(-x)*sin(2*pi*x)). Puede optarse por escribir las funciones en sintaxis Java (p.ej., 3.5*Math.exp(-x)*Math.sin(2*Math.PI*x)) activando la opción “Funciones en sintaxis Java” en el panel “Opciones”.
  4. La gráfica muestra el valor de r(t), como una flecha azul oscura, para el valor de la variable escalar t especificado. El valor de t se controla arrastrando la deslizadera situada a la derecha de la gráfica. Los extremos de la deslizadera corresponden a los valores seleccionados de t1 y t2. También se puede modificar el valor de t en incrementos regulares pulsando las flechas situadas sobre la deslizadera.
  5. La gráfica muestra como una flecha verde oscura la correspondiente derivada de r(t), obtenida numéricamente por el applet, para el valor de t seleccionado. La flecha violeta corresponde a la función r’(t) introducida por el usuario. Si las flechas verde oscura y violeta se superponen para cualquier valor de t, el usuario ha derivado correctamente; si no es así, debe corregir sus expresiones de las componentes de la derivada.
  6. Bajo la deslizadera se proporciona información indicando cuál es el valor de t seleccionado, y los correspondientes valores de la función vectorial r(t) y de su derivada r’(t) (la dada por el usuario, sea correcta o no).
  7. La gráfica muestra en color rojo la línea descrita por la función vectorial r(t) al variar t de t1 a t2. Se puede desactivar y reactivar la visualización de dicha línea mediante la opción “Mostrar curva del vector”.
  8. La opción “Mostrar rejilla en gráficas” permite activar o desactivar la visualización de la misma.
  9. Si en el panel “Interacción”, en lugar de la opción “Instante” se selecciona “Intervalo”, la gráfica no muestra las derivadas (ni la obtenida numéricamente por el applet, ni la que corresponde a las expresiones proporcionadas por el usuario). A cambio, aparece una flecha azul clara que representa el valor de r(t+Δt), donde Δt es un intervalo de tiempo seleccionado por el usuario mediante una nueva deslizadera que aparece a la derecha de la anterior. Bajo esta nueva deslizadera se proporciona información indicando cuál es el valor de Δt seleccionado, y los valores para el instante t+ Δt de la función vectorial y de su derivada (la dada por el usuario, sea correcta o no).
  10. En el modo “Intervalo”, la gráfica muestra también una flecha negra que corresponde al incremento del vector en el Δt seleccionado, Δr=r(t+ Δt)-r(t), y una flecha verde clara que muestra el ritmo medio Δr/Δt al que ha variado la función vectorial.
  11. Arrastrando la correspondiente deslizadera hacia la izquierda, puede reducirse el valor de Δt hasta 10-7. El usuario puede observar que la flecha verde, que representa Δr/Δt, tiende a r’(t) (el valor correcto; obviamente, coincidirá con el de la función derivada introducida por el usuario sólo si ésta es correcta). Esta maniobra permite visualizar de forma interactiva el concepto de derivada de un vector como un límite.
  12. El panel inferior derecho muestra la misma idea de límite en forma de tabla: para una serie de incrementos de la variable t, cada vez menores, se proporcionan los correspondientes nuevos valores de la función vectorial, los incrementos de ésta, y los correspondientes ritmos medios de variación, que convergen hacia el valor de la derivada.
  13. Puede comprobarse que la derivada es tangente en todo momento a la línea descrita por el extremo de r(t), y que su módulo indica el ritmo al que dicho extremo se desplaza.
  14. La opción “Reiniciar” en el menú “Herramientas” devuelve el applet a su estado inicial.

Ejemplo

  1. Utilícense la función (5t,t2-5) y el intervalo [0,4] que aparecen seleccionados inicialmente. Si es necesario, púlsese “Reiniciar” en el menú “Herramientas”.
  2. Arrástrese la deslizadera que controla el valor de t hasta que sea 1.
  3. Selecciónese la opción “Intervalo” en el menú “Interacción”. Arrástrese la deslizadera que controla el valor de Δt en uno y otro sentido, observando bajo ella los incrementos Δt y Δr, y el correspondiente ritmo al que varía r(t), dado por el cociente Δr/Δt.
  4. Arrástrese la deslizadera que controla el valor de Δt hacia su extremo izquierdo. Nótese cómo varía Δr/Δt, y cómo se va aproximando al valor (5,2).
  5. Analícese la tabla del panel inferior derecho. Compruébese que, conforme el incremento de t considerado se hace menor, el ritmo medio de variación de r(t) se aproxima al mencionado valor, (5,2).
  6. Obsérvese que la derivada de r(t)= (5t,t2-5) es r’(t)= (5,2t), y que r’(1)=(5,2).
  7. Repítase el procedimiento con t=3. Compruébese que tanto la tabla como el arrastre de la deslizadera hacia valores pequeños de Δt indican que el valor límite es (5,6). Compárese este resultado con r’(3).
  8. Supóngase que el vector de posición r de un móvil en función del tiempo es (5t,t2-5). Nótese que en ese caso Δr/Δt es la vector velocidad media del móvil. Razónese a partir de ello que la función r’(t)=(5,2t) es el vector velocidad del móvil. Búsquense otros ejemplos (sugerencia: ¿qué será la derivada de v(t), donde v es vector velocidad de un móvil en función del tiempo t?).
  9. Selecciónese la opción “Instante” en el menú “Interacción”. Colóquese la deslizadera en su extremo izquierdo, y a continuación desplácese a un ritmo constante hacia la derecha. Obsérvese que, si se admite que r(t) es el vector de posición de un móvil, entonces la línea roja es su trayectoria, y r’(t) es su velocidad en cada instante. Nótese que la velocidad es en todo momento tangente a la trayectoria, y que su módulo indica lo rápido que se desplaza el móvil.
  10. Arrastrando de nuevo la deslizadera de izquierda a derecha a ritmo constante, analícese el siguiente punto de vista: da la sensación de que la derivada r’(t) tira del extremo del vector derivado r(t). En efecto, dicho extremo se desplaza hacia donde r’(t) señala, y al ritmo dado por su módulo.
  11. Introdúzcase en el panel “Vectores propuestos e intervalo [t1,t2]” la expresión “t*cos(t)” como primera componente de r(t), “t*sin(t)” como segunda componente, “0” en las dos componentes de r’(t) y en t1, y “10.*pi” en t2. Nótese que la trayectoria descrita por el extremo de r(t) es una espiral, y arrástrese la deslizadera para observar cómo varían r(t) y su derivada r’(t). Analícese la relación entre el vector r’(t) y la forma en que se desplaza el extremo de r(t).
  12. Escríbase en los cuadros de texto correspondientes a las componentes de r’(t) las expresiones de la derivada de r(t). Si son correctas, la flecha violeta se superpondrá a la verde oscura para cualquier valor de t.
  13. Una vez introducidas las expresiones correctas de las componentes de r’(t), “cos(t)-t*sin(t)” y “sin(t)+t*cos(t)”, actívese la opción “Intervalo” en el menú “Interacción”. Arrástrese la deslizadera que controla el valor de Δt a izquierda y derecha. Compruébese que Δr/Δt tiende a la derivada r’(t) cuando Δt tiende a cero. Realícese esa comprobación para distintos valores de t.

Applet