Física (también “Fundamentos Físicos de la Ingeniería”, “Mecánica”).

Visualizador de operaciones con vectores.

Isabel Salinas Marín, Marcos H. Giménez Valentín y Juan Antonio Monsoriu Serra.

*Creado con Easy Java Simulations


Introducción

           El applet permite que el usuario introduzca las componentes de tres vectores y un escalar, y seleccione una de las seis operaciones disponibles (suma, resta, producto escalar, producto vectorial y producto mixto de vectores, además de multiplicación de escalar y vector). Los vectores y el resultado de la operación (cuando éste sea un vector) se muestran en una representación 3D en la que el usuario puede modificar de forma interactiva tanto el punto de vista como la escala.
            En lugar de introducir directamente las componentes de un vector, el usuario puede modificarlas arrastrando su extremo en el visor. De este modo, puede observar de forma interactiva cómo afectan las modificaciones del vector al resultado de la operación seleccionada. Se puede elegir entre que el arrastre del extremo del vector sea libre, que afecte únicamente a su módulo, o que cambie solamente su orientación.
            Se dispone de botones de copiar y pegar para, por ejemplo, utilizar el resultado de una operación como operando de otra.
            Está disponible la visualización de diversas propiedades geométricas de interés: el ángulo que forman dos vectores, la proyección de uno sobre otro, o el paralelogramo que definen. También se puede mostrar el paralelepípedo definido por tres vectores.


Objetivos


Instrucciones

  1. Situando el puntero del ratón sobre la mayor parte de los elementos de la interfaz aparece un globo con su descripción.
  2. Arrastrando con el ratón se puede modificar el punto de vista en el visor. La escala se puede controlar mediante la deslizadera “Zoom” del panel “Visualización”. Se puede recuperar la perspectiva y escala iniciales pulsando sobre la opción “Restaurar vista 3D” en el menú “Herramientas”.
  3. Cada vector tiene un color asociado: azul para a, verde para b, violeta para c y rojo para el resultado r. Ese color se muestra tanto en el visor como en la información asociada en los diferentes paneles.
  4. Al teclear cualquier entrada en un cuadro de texto del panel “Operandos”, dicho cuadro se muestra con fondo amarillo. Es obligatorio pulsar la tecla INTRO para validar la entrada, tras lo que el fondo pasa a ser blanco. Si en lugar de eso el fondo pasa a ser rojo, el valor introducido no es correcto.
  5. El panel “Operandos” permite introducir las componentes (x,y,z) de los vectores a, b y c en un sistema ortonormal dextrógiro de referencia. A la derecha de las componentes se indica automáticamente el módulo del correspondiente vector. También se puede introducir el valor de un escalar m.
  6. En lugar de teclear las componentes de un vector, el usuario puede modificarlo arrastrando su extremo en el visor. Al hacerlo, tanto el resultado como su representación gráfica, de tenerla, se actualizan en tiempo real.
  7. Dado que el entorno mostrado en el visor es 3D, mientras que el ratón se mueve en 2D, no es posible modificar por arrastre las tres componentes de un vector de forma simultánea. Por ese motivo, solamente se modifican dos de ellas (cuáles en concreto depende del punto de vista utilizado). Sin embargo es posible seleccionar una componente cualquiera pulsando la tecla correspondiente. Por ejemplo, si se arrastra el extremo de un vector mientras se mantiene pulsada la tecla X, sólo se modifica esta componente.
  8. La lista desplegable “Arrastrar modifica” del panel “Visualización” proporciona otras posibilidades de arrastre del extremo de un vector: la opción ‘Todo’ permite el arrastre libre explicado en los puntos anteriores; la opción ‘Módulo’ deja que el usuario cambie el módulo del vector, pero no su orientación; por último, la opción ‘Orientación’ permite que el usuario rote el vector, mientras conserva su módulo.
  9. El panel “Operación” permite seleccionar una de las seis operaciones disponibles: suma, resta, producto escalar y producto vectorial de los vectores a y b; multiplicación del escalar m por el vector a; y producto mixto de los vectores a, b y c. En las operaciones en que el resultado es un escalar (producto escalar y producto mixto), su valor aparece en el panel “Resultado”; cuando el resultado es un vector (las otras cuatro), dicho panel muestra sus componentes y su módulo, y además aparece representado en color rojo en el visor.
  10. El panel “Operandos” incluye tras cada vector una serie de cuatro botones asociados al mismo. Esos botones permiten bloquearlo para que no se modifiquen sus componentes, dividirlo por su módulo para obtener su correspondiente vector unitario, copiarlo al portapapeles, o reemplazarlo por el vector contenido en dicho portapapeles. El panel “Resultado” también contiene un botón para copiar al portapapeles el resultado de una operación cuando se trate de un vector. Por ejemplo, esto permite utilizar el resultado de una operación como operando de otra.
  11. Además de “Arrastrar modifica” y “Zoom”, que se han comentado anteriormente, el panel “Visualización” contiene otros controles. “Ver no utilizados”  permite seleccionar la forma en que se muestran en el visor los vectores que no intervienen en la operación elegida: ‘Como utilizados’, ‘Atenuados’ u ‘Ocultos’. “Ver componentes” controla cuándo se muestran en el visor las componentes de los vectores: ‘Nunca’, ‘Al arrastrar’ o ‘Siempre’. “Sumas y restas” establece el método de representación gráfica de dichas operaciones: ‘Paralelogramo’ o ‘Secuencia’. Por último, “Ver los nombres de los vectores” permite elegir entre mostrar los nombres de los vectores junto a su representación gráfica, o bien ocultarlos para aclarar el visor.
  12. El panel “Valores de interés” muestra los valores de cuatro propiedades geométricas relevantes: el ángulo entre a y b, la proyección de a sobre b, el área del paralelogramo definido por a y b, y el volumen del paralelepípedo definido por a, b y c. Además se incluyen sendos botones para activar o desactivar la visualización, respectivamente, del ángulo, la proyección, el paralelogramo y el paralelepípedo.
  13. La opción “Reiniciar” en el menú “Herramientas” devuelve el applet a su estado inicial.

Ejemplo

  1. Utilícense los vectores a, b y c, y el escalar m, que aparecen seleccionados inicialmente. Si es necesario, púlsese “Reiniciar” en el menú “Herramientas”.
  2. Selecciónense una tras otra las seis operaciones disponibles. Realícese cada una de ellas por uno mismo y compárese el resultado con el proporcionado por el applet, para comprobar que se sabe realizar correctamente.
  3. Arrástrese el extremo de uno cualquiera de los vectores. Obsérvese cómo afecta el cambio a las tres líneas de su mismo color que ponen de manifiesto en el visor la posición del extremo del vector con respecto a la de su origen. Analícese la relación entre las longitudes y orientaciones de esas líneas con los valores de las componentes del vector, que aparecen en el panel “Operandos”.
  4. Selecciónese la suma de vectores. Arrástrense sucesivamente los extremos de a y b en el visor y obsérvese cómo afectan los cambios al resultado. Realícese este proceso seleccionando en la lista desplegable “Sumas y restas” del panel “Visualización” la opción ‘Paralelogramo’. Repítase con la opción ‘Secuencia’.
  5. Repítase el punto anterior para la resta de vectores.
  6. Selecciónese la multiplicación de escalar y vector. Compruébese cómo afectan las modificaciones del escalar m al módulo, dirección y sentido del resultado. Pruébese con un valor negativo de m y obsérvense las consecuencias.
  7. Selecciónese el producto escalar de vectores, y actívese la visualización junto a “Ángulo entre a y b en el panel “Valores de interés”. Arrástrense los extremos de a y b para ver ese ángulo. En caso necesario, arrástrese con el ratón sobre el fondo del visor para modificar el punto de vista y poder ver el ángulo más de frente. Repítase el proceso tras activar la visualización junto a “Proyección de a sobre b.
  8. Compruébese que el coseno del “Ángulo entre a y b coincide con el resultado de la operación a·b/ab, esto es, el producto escalar dividido por el de los módulos. Compruébese también que el valor de la “Proyección de a sobre b es igual al resultado de la operación a·b/b. Púlsese sobre el segundo botón a la derecha del vector b en el panel “Operandos”. Compruébese que, siendo b un vector unitario, la proyección de a sobre él coincide con el producto escalar a·b.
  9. Desactívense los botones de visualización anteriores y actívese únicamente el situado junto a “Área paralelogramo ab en el panel “Valores de interés”. Selecciónese el producto vectorial de vectores. Arrástrense los extremos de a y b para ver cómo se modifican esa área y el resultado del producto vectorial. Compruébese que el valor del área del paralelogramo coincide con el módulo del producto vectorial, mostrado en el panel “Resultado”. Obsérvese también que el producto vectorial es perpendicular al paralelogramo. Analícese el sentido del producto vectorial en relación al dado por la aplicación de la regla de Maxwell (tornillo, sacacorchos, mano derecha) al giro de a hacia b. En caso necesario, modifíquense el punto de vista y la escala para una mejor visualización
  10. Intercámbiense las componentes de los vectores a y b (utilizando el portapapeles del applet, cópiese a a c, b a a, y finalmente c a b) y obsérvese qué sucede con el módulo, dirección y sentido del nuevo producto vectorial con respecto al anterior. Razónese por qué se dice que el producto vectorial es anticonmutativo.
  11. Utilizando el portapapeles, cópiese el resultado del producto vectorial en el vector b y selecciónese el producto escalar. Nótese que el resultado es cero, y que por tanto a×b es perpendicular a a. El mismo procedimiento permitiría comprobar que también es perpendicular a b.
  12. Púlsese “Reiniciar” en el menú “Herramientas”. Introdúzcanse las componentes (0,0,2) para el vector a y (0,3,0) para el b. Actívese la opción ‘Orientación’ en la lista desplegable “Arrastrar modifica” del panel “Visualización”. Selecciónese el producto escalar de vectores. Actívense las visualizaciones de “Ángulo entre a y b y “Proyección de a sobre b en el panel “Valores de interés”. Gírese el vector a arrastrando su extremo. Nótese cómo afecta esa rotación a la proyección y al resultado del producto escalar. Analícese cuándo dicho resultado es cero, cuándo es máximo, y cuál es ese máximo. Actívese la opción ‘Módulo’ en la lista desplegable “Arrastrar modifica” y estúdiese cómo afecta el módulo al producto escalar.
  13. Púlsese “Reiniciar” en el menú “Herramientas”. Introdúzcanse las componentes (0,0,2) para el vector a y (0,3,0) para el b. Actívese la opción ‘Orientación’ en la lista desplegable “Arrastrar modifica” del panel “Visualización”. Selecciónese el producto vectorial de vectores. Actívese la visualización de “Área paralelogramo ab en el panel “Valores de interés”. Gírese el vector a arrastrando su extremo. Nótese cómo afecta esa rotación al área del paralelogramo y al resultado del producto vectorial. Analícese cuándo dicho resultado es el vector cero, cuándo su módulo es máximo, cuál es ese máximo, y cómo varían su dirección y sentido. Actívese la opción ‘Módulo’ en la lista desplegable “Arrastrar modifica” y estúdiese cómo afecta el módulo al producto vectorial.
  14. Púlsese “Reiniciar” en el menú “Herramientas”. Selecciónese el producto mixto de vectores, y actívese la visualización de “Volumen paralelepípedo abc en el panel “Valores de interés”. Arrástrense los extremos de los vectores para ver cómo varían el paralelepípedo que definen y el valor del producto mixto. Nótese que el volumen del paralelepípedo, dado en ese panel, coincide con el valor absoluto del producto mixto.
  15. Introdúzcanse las componentes (1,0,0) para el vector a, (0,3,0) para el b, y (0,0,2) para el c. Búsquese la relación entre sus módulos, el volumen del paralepípedo

APPLET